 
<!-- Yandex.Metrika --> |
Скачать книги V._Markucc_Narod_religiya_i_vlast.docx Скачать книгу В.Маркуц "Расчёт влажности грунтов активной зоны"Вы можете ЗДЕСЬ_Vlazhnost.docxМаркуц Вениамин Михайловичканд. техн. наук (Ph.D.)DOCTOR OF SCIENCE , HONORIS CAUSA of Academy of Natural History
профессор РАЕFULL MЕMBER EUROPEAN ACADEMY OF NATURAL HISTORYЗаслуженный работник науки и образованияКонтактная информация:г. Тюмень:8 (3452) 43-98-86E-mail: markusb@mail.ruvmarkuc@yandex.ruкнигу В. Маркуц "Народ, религия и власть" Вы можете скачать здесь: Вениамин МаркуцПолучить полный текст книгиВ. Маркуц "Расчёт нежёстких дорожных одежд со слоями из слабосвязных материалов" в электронной форме
Вы можете ЗДЕСЬ_Raschet_nezh.d.o.docx
Купить книгу "Расчёт нежёстких дорожных одежд со слоями из слабосвязных материалов" на бумажном носителе Вы можете, нажав на эту ссылку:«Расчёт нежёстких дорожных одежд со слоями из слабосвязных материалов»Книга В. Маркуц ″Расчёт нежёстких дорожных одежд со слоями из слабосвязных материалов″978-3-8484-9107-0_Coverpreview_3.pdf
|
скачать полный текст Вы можете здесь Primenenie_teorii_mark._proccessov_Word_2003.doc или на сайте http://markuts.wmsite.ru В. МаркуцПрименение теории однородных марковских цепей для прогнозирования сроков наступления событий(публикуется с небольшими изменениями по тексту 1986 – 1987 г.г.) Содержание Аннотация Общие положения 1. Основные понятия теории цепей Маркова 2. Полученные результаты и их интерпретация 2.1. Действия со случайными числами 2.2. Действия над максимальными уровнями паводков Выводы Литература Аннотация На примерах со случайными числами и данными о величине максимальных уровней паводков одной из рек в Тюменской области показано применение однородных марковских цепей первого порядка для прогнозирования сроков наступления событий. Общие положения В дорожном проектировании очень важным является определение расчётных значений каких-либо параметров, например, длительности периодов влагонакопления, уровней паводков рек и др. Но не менее важным является и определение наступления сроков этих событий. При расчёте опор мостов важно знать время прохождения расчётного паводка – в самом начале работы сооружения или в конце, когда после прохождения многочисленных паводков ниже расчётного, русло реки уже размыто. В последнем случае общий размыв русла реки будет гораздо больше, чем, если бы паводок прошёл сразу после постройки моста. При расчёте дорожных конструкций также важно знать момент наступления расчётного года – в начале или в конце срока службы дороги. Наиболее апробированными в практике являются сложные гидродинамические детерминированные модели, удовлетворительно предсказывающие общую синоптическую ситуацию. Собственно же прогноз погоды, включающий прогноз метеорологических элементов, до сих пор составляется в основном с помощью качественных способов [1]. Это обстоятельство заставляет искать и применять другие пути решения. В метеорологии и геологии длительное время используются методы множественной регрессии и цепи Маркова [2,4]. Исследование возможности применения цепей Маркова в практике дорожного проектирования является целью настоящей работы. В качестве первого опыта было поставлено определение сроков наступления паводков одной из рек в Тюменской области, так как было замечено, что в многолетнем ряду её максимальных уровней наблюдается некоторое влияние предшествующих событий на последующие. Решение проведено в матричном виде, что намного проще аналитической формы и кроме того получаемые выражения допускают прямую вероятностную интерпретацию [3]. Для лучшего понимания излагаемого материала приведены некоторые предварительные понятия о цепях Маркова. 1. Основные понятия теории цепей Маркова Многие природные процессы, которые рассматриваются как случайные, характеризуются тем, что в них наблюдается некоторое влияние предшествующих событий на последующие. Такие процессы называются марковскими. Это и является критерием наличия марковских свойств в изучаемой серии наблюдений. Поэтому в настоящей работе в целях испытания работоспособности математического аппарата цепей Маркова исследовался ряд случайных чисел, представляющих собой независимые события в наиболее чистой форме. Основной особенностью марковских процессов является зависимость его поведения только от непосредственного предшествующего состояния и независимость от всех остальных предшествующих состояний, причём число состояний величина конечная. Их этого следует, что марковские процессы имеют короткую память. Если память цепи распространяется на один шаг, то такая цепь называется цепью первого порядка. Переходы из одного состояния в другое дискретны во времени или пространстве и характеризуются вероятностями перехода, причём эти вероятности, как следует из определения, стационарны, то есть независимы во времени. Поэтому одна из форм марковских процессов со стационарными вероятностями перехода с дискретным временем на конечном фазовом пространстве называется однородной цепью Маркова. При большом объёме первичной информации вероятность перехода из одного состояния в другое можно вычислять более чем за одно предшествующее состояние. Если таких предшествующих состояний два, то образуется цепь второго порядка, если три – третьего и т.д. Таким образом, цепь Маркова определяется набором вероятностей перехода из одного состояния в другое, которые образуют матрицу вероятностей перехода Р. Если в марковской цепи зависимых состояний больше четырёх, то она становится очень сложной, так как число содержащихся в переходной матрице строк равно числу состояний, возведённому в степень, равную числу зависимых состояний в цепи – одно, два, три и т.д. Переходная матрица для цепи второго порядка с пятью состояниями будет содержать 52 = 25 строк, а для цепи третьего порядка 53 = 125 строк. Переходная матрица Р образуется следующим образом. Исследуемый ряд ранжируется в возрастающем порядке и в нём выделяются группы по состояниям: S1, S2, S3 …… Si ……. Sj …….. Sk. Далее подсчитывают частоты перехода от состояния к состоянию. Переход от состояния Si к состоянию Sj - это событие Si j, которое может совершиться (произойти) Vi j раз. Нижеприведённая таблица 1 иллюстрирует получение матрицы частот. Таблица 1 Матрица частот для K состояний процесса
Σ = n - 1 По каждой строке подсчитывают сумму переходов от состояния к состоянию и сумму строк, причём каждая последняя определяет общее число переходов, которое на единицу меньше количества членов в ряду n. Далее составляют матрицу переходных вероятностей P, где каждый элемент определяется как: ………………………………………………. (1). При этом сумма по строкам должна быть равна единице. Это свидетельствует о том, что переход из какого-либо состояния к одному из множества всех возможных состояний есть событие достоверное. Число строк равно числу столбцов. Это означает то, что матрица переходных вероятностей квадратная. Элементы переходной матрицы это условные стохастические вероятности появления какого-либо события при условии совершившегося предшествующего события. Такова интерпретация матрицы P, являющейся начальным элементом регулярной цепи Маркова. И в самом деле. Исследуя закономерности многократно чередующихся паводков реки, мы наблюдаем переходы от низких паводков к высоким, последних к самым низким, к самым высоким или к средним. При практически бесконечном числе переходов от состояния к состоянию само число состояний конечно. В нашем примере число состояний равно пяти: самое низкое – НН, низкое – Н, среднее – С, высокое – В, самое высокое – ВВ. При этом вероятность возвращения из какого-либо состояния, например, от самого высокого паводка, минуя череду ординарных высоких, средних и низких паводков равна единице, а среднее время возвращения конечно, к примеру, через сто лет. Такое состояние носит название эргодического, а эргодическая цепь, не являющаяся циклической, представляет регулярную цепь. Рассматриваемые ниже примеры решены при помощи однородной регулярной цепи Маркова первого порядка. Из определения матрицы P следует, что составляющие её элементы условных стохастических вероятностей перехода представляют состояние системы в какой-то фиксированный момент, отражающий поведение этой системы за определённый промежуток времени. Для нашего примера этот период составляет 61 год и матрица переходных вероятностей P имеет вид, представленный в таблице 2. Таблица 2 Матрица переходных вероятностей P
P2 (Н → НН) = 0,44 * 0,04 = 0,0176; P2 (Н → ВВ) = 0,23 * 0,08 = 0,0184; Через три года: P3 (Н → НН) = 0,33 * 0,44 * 0,04 + 0,44 * 0,04 * 0,67 + 0,44 * 0,48 * 0,04 + 0,23 * 0,28 * 0,04 = 0,029; P3 (Н → ВВ) = 0,33 * 0,23 * 0,08 + 0,44 * 0,24 * 0,08 + 0,23 * (0,6 * 0,08 + 0,08 * 0,33) = 0,032. Через четыре года: P4 (Н → НН) = 0,33 * (0,33 * 0,44 * 0,04 + 0,44 * 0,04 * 0,67 + 0,44 * 0,48 * 0,04 + 0,23 * 0,28 * 0,04) + 0,44 * [0,04 * 0,67 * 0,67 + 0,24 * 0,44 * 0,04 + 0,48 * (0,04 * 0,67 + 0,48 * 0,04) + 0,24 * 0,28 * 0,04] + 0,23 * [0,04 * 0,44 * 0,04 + 0,28 * (0,04 * 0,67 + 0,48 * 0,04) + 0,60 * 0,28 * 0,04]= 0,035; P4 (Н → ВВ) = 0,33 * [0,33 * 0,23 * 0,08 + 0,44 * 0,24 * 0,08 + 0,23 * (0,60 * 0,08 + 0,08 * 0,33)] + 0,44 * [0,04 * 0,33 * 0,08 + 0,24 * 0,23 * 0,08 + 0,48 * 0,24 * 0,08 + 0,24 * (0,60 * 0,08 + 0,08 * 0,33) + 0,04 * 0,23 * 0,08 + 0,28 * 0,24 * 0,08 + 0,60 * (0,60 * 0,08 * 0,33) + 0,08 * (0,67 * 0,08 + 0,33* 0,33)] = 0,042. На каждой итерации элементы матрицы P изменяются, причём матрица второй итерации P2 = P * P, третьей итерации P4 = P2 * P и т.д., Pn = Pn-1 * P. При этом каждый раз получается новая квадратная матрица. При n → ∞, а на практике гораздо раньше, Pn * P = Pn = А, то есть последующее умножение матрицы Pn на P не изменит такую матрицу. Полученная матрица А, элементы которой уже не подвержены изменениям - это предельное состояние матрицы переходных вероятностей Р при n → ∞. Изменение элементов - матрицы P - это изменение фазового пространства системы при переходе от состояния к состоянию. Отличительной особенностью новой матрицы является тот факт, что строки её одинаковы. Матрица А, по существу, это вектор-строка α. Эффект действия вектора α заключается в том, что вновь полученные вероятности перехода из одного состояния в другое становятся независимы от исходного начального состояния. Это означает независимость последующих событий от предшествующих через n итераций (для паводков реки через n лет). Тот факт, что элементы вектора α стационарны, даёт основание для предсказаний поведения изучаемой системы в будущем.
Рис 1 Схема, иллюстрирующая переходы из состояния Н в последующие состояния на основе матрицы переходных вероятностей Р
Таблица 3 Матрица А (вектор α)
В нашем примере число итераций составило 19 (P20 * P = P19) с принятой точностью 0, 0001вычисления элементов матрицы А. Из примера видно, что уже после четвёртой итерации переходные вероятности мало отличаются от элементов вектора α. Чтобы узнать время совершения события tij (tij означает время появления состояния Sj после состояния Si или это есть время появления события Si j) вычисляем матрицу средних времён достижения M, которая определяется из матричного выражения [3]: M = (J – Z + E * Zdg ) * D ……………………………………………… (2), где: J - единичная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице (1), а остальные равны нулю (0); Е – квадратная матрица, все элементы которой равны единице (1); Zdg - матрица, у которой главная диагональ совпадает с главной диагональю матрицы Z, а остальные равны нулю (0); D - диагональная матрица с диагональными элементами , dii = , а остальные равны нулю (0). В свою очередь, матрица Z определяется: Z = (J – Р + А)-1 …………………………………………….. (3). Если события независимы (чисто случайный процесс), то Р = А и Z = J, как это следует из выражения (2) и, следовательно M = E * D ……………………………………………. (4). Это может послужить проверкой наличия марковских свойств в изучаемом процессе, а также для проверки независимости событий. Из этого следует и более глубокий вывод. Чтобы надёжно определить статистические показатели изучаемого ряда либо простым статистическим анализом, либо корреляционно-регрессионным методом, мы должны убедиться в независимости событий, то есть элементов изучаемого ряда. Но как только мы в этом убедились и определили требуемые статистические показатели, определить время их совершения мы не сможем с достаточной точностью, как раз именно вследствие их независимости и отсутствия марковских свойств. В то же время наличие марковских свойств, а именно – проявление некоторой зависимости событий, исключает возможность пользоваться статистическим аппаратом для определения хотя бы даже средних значений и доверительных интервалов. Из этого следует, что с достаточной точностью невозможно определить параметры изучаемого процесса и время их совершения. Это напоминает проявление принципа В. Гейзенберга, хотя, казалось бы, в макроскопических объектах он не должен проявляться. Любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координата и импульс одновременно принимают вполне определённые, точные значения. Следовательно, результаты по определению времени совершения событий имеют вероятностный характер. А из этого следует, что с помощью современного математического аппарата теории вероятности и её приложений точно предсказывать явления природы никогда не удастся. Чтобы узнать среднее время пребывания процесса до первого достижения состояния Sj в каждом из остальных состояний (а в нашем случае требуется узнать какие именно паводки и какое их число прошло в каждой серии, или то же самое, какое количество различных паводков пройдёт перед тем, как наступит интересующий нас паводок), необходимо состояние Sj сделать поглощающим состоянием. Для такого состояния элемент переходной матрицы P равен единице (1), и, следовательно, остальные элементы строки равны нулю. Вновь получившаяся подматрица Q описывает поведение процесса на пути из Si в Sj. А так как в состояние Sj, как мы убедились, можно попасть из всех состояний, то полученная цепь Маркова окажется поглощающей, то есть эргодической регулярной нециклической цепью. Поглощающее состояние означает, что с вероятностью равной единице (1) совершается процесс перехода из состояния S1 в состояние S1, из состояния S2 в S2, из Si в Si, из Sj в Sj, и т.д., в то время как другие переходы невозможны и поэтому их переходные вероятности равны нулю. Матрица N, означающая среднее время проведения процесса в любом из состояний до достижения поглощающего состояния: N = (J - Q)-1 ……………………………………….. (5). Время первого достижения поглощающего состояния из любого другого состояния: τ = N * 𝛏 …………………………………………………. (6), где 𝛏 - вектор-столбец, у которого все элементы равны единице. Для проведения расчётов составлен алгоритм и программа на алгоритмическом языке АЛГОЛ – 68, реализация осуществлена на ЭВМ ODRA – 1204, и на языке FORTRAN – IV на ЭВМ ЕС – 1061. В составлении программы принимали участие работники ТюмИСИ ,Лобакова П. А. и Севастьянова Л.П. 2. Полученные результаты и их интерпретация 2.1. Действия со случайными числами Проверка пригодности цепей Маркова для целей прогнозирования вначале была проведена над рядом случайных чисел. Полученные матрицы P, А, Z, M и E * D приведены ниже. Матрица P – переходные вероятности
Матрица А
Матрица Z
Матрица M
Матрица E * D
Из приведённого примера видно, что матрица А весьма близка к матрице переходных вероятностей P. Элементы матрицы А, являющиеся стационарными вероятностями перехода, почти одинаковы, разве что первый столбец несколько отличается от других. Матрица Z близка к единичной матрице, так как диагональные элементы ненамного отличаются от единицы, а остальные стремятся к нулю. И, наконец, матрица M примерно равна матрице E * D и её элементы практически одинаковы. Всё это свидетельствует об отсутствии марковских свойств в ряду случайных чисел и независимости событий. 2.2. Действия над максимальными уровнями паводков Исследуемый процесс – прохождение максимальных паводков, обладает марковскими свойствами. Это видно из анализа матриц P, А, M и E * D. Матрицы P и А различны, как различны матрицы M и E * D. Матрица Z отлична от единичной, элементы матрицы M различны. Стабилизация элементов матрицы А произошла через 19 итераций. Это означает, что влияние начального состояния исчезает через 19 лет и независимо от величины предшествующего паводка вероятность прохождения любого другого паводка одинакова. Так вероятность прохождения самого низкого паводка НН равна 0,042 или один раз в 24 года. Вероятность прохождения ординарного низкого Н – 0,149 или один раз в 7 лет, среднего С – 0,348 или один раз в 3 года, ординарного высокого В – 0,412 или один раз в 2,5 года, самого высокого ВВ – 0,049 или один раз в 20 лет. Матрица P переходных вероятностей прохождения максимальных паводков
Матрица А (вектор α) прохождения максимальных паводков
Матрица Z прохождения максимальных паводков
Матрица M прохождения максимальных паводков
Матрица E * D прохождения максимальных паводков
Матрица M даёт дополнительную информацию. Так, если предшествующий паводок был самым низким НН, то следующий самый низкий ожидается через 24 года, ординарный низкий Н через 13 лет, средний С через 7 лет, ординарный высокий В через 3 года и самый высокий ВВ через 32 года. Если предшествующий паводок был низким или средним, то очередной самый низкий НН произойдёт через 65 – 67 лет, низкий Н через 7 лет, средний С через 3 года, ординарный высокий В через 4 года и самый высокий ВВ через 33года и т.д. Как мы определили, что если предшествующий паводок был низким Н, то очередной самый низкий НН пройдёт через 67 лет. Какие же паводки пройдут за это время, и какое число паводков ожидается в каждой серии? На этот вопрос даст ответ матрица Н (НН), когда состояние НН принято поглощающим. Матрица Н (НН) прохождения максимальных паводков, когда состояние НН принято поглощающим.
Из таблицы видно, что если предшествующий паводок был низким Н, то за 67 лет, прежде чем пройти самому низкому паводку НН пройдут 12 ординарных низких Н, 25 средних С, 27 ординарный высоких В и 3 самых высоких паводка ВВ. Если предшествующие паводки были С, В или ВВ, то пройдут 10 низких паводков , 25 средних, 26 – 30 высоких и от трёх до пяти самых высоких паводка ВВ. Выводы Следует отметить, что в настоящем виде метод прогнозирования сроков наступления событий на основе цепей Маркова первого порядка не является в достаточной мере совершенным, а результаты вполне достоверными. Более надёжных результатов можно ожидать с помощью цепей второго и третьего порядка. Но даже в существующем виде этот метод несёт значительно больше информации по сравнению с простым статистическим анализом, когда мы можем определить лишь функцию распределения вероятностей исследуемого ряда и его параметры, например, среднее значение, среднее квадратическое отклонение, доверительные интервалы и плотность распределения. P.S. В настоящее время, когда нам кажется, что наш мир вступил в эпоху глобальных климатических и социально-экономических изменений, весьма актуальным является получение каких-либо данных о грядущих событиях. Поэтому чрезвычайно возрос спрос на всевозможных гадалок, гадателей, предсказателей, экстрасенсов, провидцев и прочих представителей оккультных познаний. Поскольку результаты их творчества не основаны на научной теории, а базируются на субъективных интуитивных ощущениях, то достоверность, повторяемость и репрезентативность таких выводов весьма сомнительна. Конечно, среди многочисленной их рати встречаются уникальные по своим возможностям представители. Но ведь появление таких людей - единицы за столетие. А людям хочется знать будущее уже сейчас и немедленно, хотя бы в первом приближении, и, как говорится, в шаговой доступности. Поэтому методы, основанные на легитимной научной теории, могут иметь большую привлекательность для целей прогнозирования различного рода событий, если известен его достаточно длинный слабодетерминированный, то есть не чисто случайный, но независимый одномерный численный ряд. Таких событий в обыденной жизни встречается значительное количество: виды на урожай в следующем году и последующих; какое будет лето в следующем году и и последующих: холодное, тёплое, жаркое, очень жаркое, сухое, засушливое, мокрое, сырое; какая будет зима: холодная, средняя, очень холодная и т.д. и т.д. События и их параметры мы можем набрать любое количество. Чтобы это узнать достаточно принести человеку, который, не обладает экстрасенсорными возможностями, но имеет соответствующую программу на своём компьютере, интересующий его одномерный ряд данных, полученный, к примеру, в статистических организациях, на метеостанциях или гидрометеоцентрах, которые имеются почти в каждом населенном пункте. Кстати, Научная теория – это структурированная система основных понятий, эмпирических и теоретических обобщений, гипотез и методов, образующих её концептуальное ядро, обладающая информационной способностью, с помощью которой возможно описание, обобщение, систематизация, объяснение, прогнозирование и регулирование процессов и явлений материального мира. ( В.Маркуц, Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции, 29 июля – 1 августа 1991 г. г. Владимир, с.26). Литература 1. Белов П.Н. Численные методы прогноза погоды, Л., Гидротехиздат, 1975, 392 с. 2. Дружинин И.П. и др. Прогноз гидрометеорологических элементов, Новосибирск, наука, 1977, 166 с. 3. Кемени Дж., Снелл Дж., Конечные цепи Маркова, М., Наука, 1970, 272 с. 4. Харбух Дж., Бонэм-Картер Г., моделирование на ЭВМ в геологии, М, Мир, 1974, 320 с. Теги: В. Маркуц, прогнозирование, цепь Маркова, сроки наступления событий, матрица вероятностей, научная теория
В. Маркуц
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
http://narod.ru/disk/20522387000/%D0%92.%20%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D1%83%D1%86%20%20%20%D0%9D%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%2C%20%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%B3%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C.docx.htm |
|
|